Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ como $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ .

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.2

Expanda $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $7 (- \frac{4}{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.2.2

Combine $- 7$ e $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.2.3

Multiplique $- 7$ por $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- \frac{4}{y} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.4.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.4.2

Combine $- 7$ e $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.4.3

Multiplique $- 7$ por $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ .

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Etapa 1.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

Etapa 1.3.1.6.2

Multiplique $\frac{4}{y}$ por $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

Etapa 1.3.1.6.3

Multiplique $\frac{4}{y}$ por $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

Etapa 1.3.1.6.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

Etapa 1.3.1.6.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

Etapa 1.3.1.6.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

Etapa 1.3.1.6.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

Etapa 1.3.1.6.8

Some $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 1.3.2

Subtraia $\frac{28}{y}$ de $- \frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $- 2 \frac{28}{y}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $28$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 5

Como $56$ é constante com relação a $y$ , mova $56$ para fora da integral.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 6

Multiplique $56$ por $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Etapa 8

Como $16$ é constante com relação a $y$ , mova $16$ para fora da integral.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1.1

Avalie $49 y$ em $5$ e em $1$ .

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Etapa 11.1.2

Avalie $\ln (| y |)$ em $5$ e em $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Etapa 11.1.3

Avalie $- y^{- 1}$ em $5$ e em $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 11.1.4

Simplifique.

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Etapa 11.1.4.1

Multiplique $49$ por $5$ .

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 11.1.4.2

Multiplique $- 49$ por $1$ .

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 11.1.4.3

Subtraia $49$ de $245$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 11.1.4.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Etapa 11.1.4.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

Etapa 11.1.4.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Etapa 11.1.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

Etapa 11.1.4.8

Some $- 1$ e $5$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

Etapa 11.1.4.9

Combine $16$ e $\frac{4}{5}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

Etapa 11.1.4.10

Multiplique $16$ por $4$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

Etapa 11.1.4.11

Para escrever $196$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.4.12

Combine $196$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.4.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.4.14.1

Multiplique $196$ por $5$ .

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.4.14.2

Some $980$ e $64$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11.1.4.15

Para escrever $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 11.1.4.16

Combine $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Etapa 11.1.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Etapa 11.1.4.18

Multiplique $5$ por $- 56$ .

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

Etapa 11.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

Etapa 11.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

Etapa 11.3.3

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Forma decimal:

$118.67147690 \dots$

Etapa 13