Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Etapa 1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Etapa 1.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{2}{5}$ e $32$ .

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $32$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Etapa 3.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Etapa 3.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 - 2}{5}$

Etapa 3.2.10

Subtraia $2$ de $64$ .

$\frac{62}{5}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{62}{5}$

Forma decimal:

$12.4$

Forma de número misto:

$12 \frac{2}{5}$

Etapa 5