Cálculo Exemplos

$\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (2 x + 1)) = 1$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\log_{3} (2 x \cdot x + x) = 1$

Etapa 1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova $x$ .

$\log_{3} (2 (x \cdot x) + x) = 1$

Etapa 1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{3} (2 x^{2} + x) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{3} (2 x^{2} + x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = 2 x^{2} + x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} + x = 3^{1}$ .

$2 x^{2} + x = 3$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + x - 3 = 0$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique por $1$ .

$2 x^{2} + 1 x - 3 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x - 1) + 3 (x - 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 3) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.6

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $2 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (2 x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1) = 1$ verdadeira.

$x = 1$