Cálculo Exemplos

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Etapa 1

Divida a integral em duas integrais, em que $c$ é um valor entre $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 3

Troque os limites de integração.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 4

Calcule a derivada de $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 5.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Etapa 6

Calcule a derivada de $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3

Simplifique os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3.2

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.3.1

Aplique a regra do produto a $- 2 (x)$ .

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3.3.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Etapa 7.3.4

Fatore $2$ de $2 x$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Etapa 7.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.5.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Etapa 7.3.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Etapa 7.3.5.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Etapa 7.3.6

Some $8 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$