Cálculo Exemplos

$\int y \sqrt{2 y + 2} d y$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = \sqrt{2 y + 2}$ .

$y (\frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Etapa 2.2

Combine $y$ e $\frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y)$

Etapa 4

Deixe $u = 2 y + 2$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 y + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y$ .

$\frac{y}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{y}{3}$ e ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.5

Cancele o fator comum de $2$ e $30$ .

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Etapa 9.2.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.5.2.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2.6

Para escrever $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Etapa 9.2.7

Combine $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 9.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 9.2.9

Combine $u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 9.2.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Etapa 9.2.11

Combine $- 3$ e $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Etapa 9.2.12

Fatore $3$ de $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Etapa 9.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.13.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Etapa 9.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Etapa 9.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Etapa 9.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Etapa 9.2.15

Para escrever $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Etapa 9.2.16

Combine $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Etapa 9.2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Etapa 9.2.18

Mova $5$ para a esquerda de $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Etapa 9.2.19

Reescreva $\frac{\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ como um produto.

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Etapa 9.2.20

Multiplique $\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Etapa 9.2.21

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 2$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{1}{15} (5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$