Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ como uma equação.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ por $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Etapa 3.5.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Etapa 3.5.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.4.2.1

Simplifique $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

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Etapa 3.5.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ é o inverso de $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Etapa 5.2.3.1.2

Divida $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Etapa 5.2.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Etapa 5.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ e $2$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $2$ de $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Etapa 5.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Etapa 5.3.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Etapa 5.3.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Etapa 5.3.3.4.4

Divida $e^{\frac{x}{2}} - 1$ por $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Etapa 5.3.4.2

Some $e^{\frac{x}{2}}$ e $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 5.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{x}{2}$ para fora do expoente.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Etapa 5.3.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Etapa 5.3.7

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ é o inverso de $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$