Cálculo Exemplos

$\int x \sin (0.5 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (0.5 x)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - \int - 2 \cos (0.5 x) d x$

Etapa 2

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - (- 2 \int \cos (0.5 x) d x)$

Etapa 3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (0.5 x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 0.5 x$ . Depois, $d u = 0.5 d x$ , então, $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 0.5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Etapa 4.1.2

Como $0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.5 x$ em relação a $x$ é $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $0.5$ por $1$ .

$0.5$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{0.5} d u$

Etapa 5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{0.5}$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \frac{\cos (u)}{0.5} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{0.5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.5}$ para fora da integral.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 (\frac{1}{0.5} \int \cos (u) d u)$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{0.5}$ e $2$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} \int \cos (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$

Etapa 9

Reescreva $x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$ como $- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.5 x$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (0.5 x) + C$

Etapa 11

Divida $2$ por $0.5$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + 4 \sin (0.5 x) + C$