Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt[3]{x + 5} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt[3]{x + 5}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e ${(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = x + 5$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{4}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ como $\frac{3}{4} x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$\frac{3 x}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{3 x}{4}$ e ${(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 6.2.5

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} + C$

Etapa 6.2.6

Para escrever $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Etapa 6.2.7

Combine $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 6.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 6.2.9

Combine $u^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 6.2.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 4 \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}}{4} + C$

Etapa 6.2.11

Combine $- 4$ e $\frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4 (u^{\frac{7}{3}} \cdot 9)}{28}}{4} + C$

Etapa 6.2.12

Multiplique $9$ por $- 4$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 36 u^{\frac{7}{3}}}{28}}{4} + C$

Etapa 6.2.13

Fatore $4$ de $- 36 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{28}}{4} + C$

Etapa 6.2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.14.1

Fatore $4$ de $28$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 (7)}}{4} + C$

Etapa 6.2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7}}{4} + C$

Etapa 6.2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Etapa 6.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Etapa 6.2.16

Para escrever $3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Etapa 6.2.17

Combine $3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Etapa 6.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Etapa 6.2.19

Multiplique $7$ por $3$ .

$\frac{\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Etapa 6.2.20

Reescreva $\frac{\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$ como um produto.

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4} + C$

Etapa 6.2.21

Multiplique $\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Etapa 6.2.22

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{1}{28} (21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}) + C$