Cálculo Exemplos

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Etapa 1

Como $- 7$ é constante com relação a $x$ , mova $- 7$ para fora da integral.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x - 2$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Etapa 8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 10.2.2

Combine $\frac{x}{4}$ e $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 10.2.3

Para escrever $- \frac{1}{16} e^{u}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Etapa 10.2.4

Combine $- \frac{1}{16} e^{u}$ e $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Etapa 10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 10.2.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Etapa 10.2.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Etapa 10.2.8

Combine $- 4$ e $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Etapa 10.2.9

Cancele o fator comum de $- 4$ e $16$ .

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Etapa 10.2.9.1

Fatore $4$ de $- 4 e^{u}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Etapa 10.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.9.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Etapa 10.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Etapa 10.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Etapa 10.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Etapa 10.2.11

Para escrever $x e^{4 x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Etapa 10.2.12

Combine $x e^{4 x - 2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Etapa 10.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Etapa 10.2.14

Mova $4$ para a esquerda de $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Etapa 10.2.15

Reescreva $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ como um produto.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Etapa 10.2.16

Multiplique $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Etapa 10.2.17

Multiplique $4$ por $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Etapa 10.2.18

Combine $- 7$ e $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Etapa 10.2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$