Cálculo Exemplos

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Etapa 1.3.2

Expanda $\ln (3^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Etapa 1.3.3.2

Divida $\ln (3)$ por $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva $\frac{\ln (216)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Etapa 1.5.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (216)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.5.3

Reescreva $216$ como $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.5.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Etapa 1.5.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Etapa 1.5.6

Avalie o expoente.

$u_{upper} = \ln (6)$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Etapa 2.3

Mova $3$ para a esquerda de $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $e^{u}$ em $\ln (6)$ e em $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (6 - 3)$

Etapa 5.2.4

Subtraia $3$ de $6$ .

$3 \cdot 3$

Etapa 5.2.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$9$

Etapa 6