Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Some $9 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Etapa 1.2

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Etapa 1.2.2

Fatore $y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

Etapa 1.2.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ .

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

Etapa 1.4

Fatore.

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Etapa 1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

Etapa 1.5

Divida cada termo em $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ por $(x + 2) (x - 2)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.1

Divida cada termo em $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ por $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.5.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ .

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Etapa 1.7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ como $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.2.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7.4.2

Eleve $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Etapa 1.7.4.3

Eleve $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

Etapa 1.7.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.7.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

Etapa 1.7.4.6

Reescreva ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ como $(x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 1.7.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.7.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.7.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.7.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.7.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

Etapa 1.7.4.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 3.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Etapa 3.2.4.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Etapa 3.2.5

Reordene os termos.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Etapa 3.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.1.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Etapa 3.5.1.2

Some $18 x$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.2

Fatore $2 y y'$ de $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $2 y y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $2 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.4

Fatore.

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Etapa 3.5.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Etapa 3.5.5

Divida cada termo em $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ por $2 y (x + 2) (x - 2)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.5.1

Divida cada termo em $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ por $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.2.4.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.2.2.1

Fatore $y$ de $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.4.1

Fatore $2$ de $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Etapa 3.5.5.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Etapa 3.5.5.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

Etapa 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

As etapas para encontrar o MMC de $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $y^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 4.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 4.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 4.1.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 4.1.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.7

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 4.1.8

O fator de $x + 2$ é o próprio $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.9

O fator de $x - 2$ é o próprio $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.10

O fator de $x + 2$ é o próprio $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.11

O fator de $x - 2$ é o próprio $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.12

O MMC de $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 2) (x - 2)$

Etapa 4.1.13

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$y (x + 2) (x - 2)$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ por $y (x + 2) (x - 2)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ por $y (x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ para o numerador.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.5

Some $1$ e $1$ .

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.6

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $y (x + 2) (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

Etapa 4.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

Etapa 4.2.3.2

Expanda $(y x + 2 y) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

Etapa 4.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

Etapa 4.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Combine os termos opostos em $y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $y x \cdot - 2$ e $2 y x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

Etapa 4.2.3.3.1.2

Some $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

Etapa 4.2.3.3.1.3

Some $y x \cdot x$ e $0$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

Etapa 4.2.3.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.2.1.1

Mova $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

Etapa 4.2.3.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

Etapa 4.2.3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

Etapa 4.2.3.3.3

Multiplique $0$ por $y x^{2} - 4 y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $x$ de $- x y^{2} + 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Fatore $x$ de $- x y^{2}$ .

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

Etapa 4.3.1.2

Fatore $x$ de $9 x$ .

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $x$ de $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

Etapa 4.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

Etapa 4.3.3

Reordene $- 1 y^{2}$ e $3^{2}$ .

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

Etapa 4.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = y$ .

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

Etapa 4.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

Etapa 4.3.5

Divida cada termo em $x (3 + y) (3 - y) = 0$ por $(3 + y) (3 - y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Divida cada termo em $x (3 + y) (3 - y) = 0$ por $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Etapa 4.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $3 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Etapa 4.3.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum de $3 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Etapa 4.3.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Etapa 4.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.1

Divida $0$ por $(3 + y) (3 - y)$ .

$x = 0$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $(0) + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Fatore $2$ de $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Fatore $2$ de $((0) + 2) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Etapa 5.2.1.2

Cancele o fator comum de $0$ e $(0) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Fatore $2$ de $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Etapa 5.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.2.1

Fatore $2$ de $(0 + 1) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Etapa 5.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Etapa 5.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ .

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $0 - 1$ à potência de $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Etapa 5.2.3.5

Eleve $0 - 1$ à potência de $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Etapa 5.2.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Etapa 5.2.3.7

Some $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 5.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.2.5.2

Divida $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Etapa 7