Cálculo Exemplos

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) + \cos (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

Etapa 3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ e $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ .

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

Etapa 4.2

Avalie $- \cos (x) + \sin (x)$ em $\frac{7 π}{4}$ e em $- \frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.5.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.5.4

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

Etapa 5.1.5.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 5.1.5.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.1.7

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.1.8

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 5.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 5.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 5.1.8.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Etapa 5.1.9

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Etapa 5.1.9.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 5.4.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

Etapa 5.5

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$0$