Cálculo Exemplos

$\int 9 x \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int x \sin (2 x) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$9 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 3.3

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 5.2

Multiplique $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Etapa 11

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Reescreva $9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ como $9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 12.2.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 12.2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (u)$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Reordene os fatores em $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Etapa 14.2

Reordene os termos.

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$