Cálculo Exemplos

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Etapa 1.2

Multiplique $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Etapa 1.2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Etapa 1.3

Mova $6$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Etapa 2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Etapa 3

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{4}$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = x^{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{1 + u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Etapa 5.2

Mova $4$ para a esquerda de $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 7.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 7.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 7.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 7.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$