Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.4

Combine frações.

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Etapa 1.4.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.5.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.13

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.12.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.12.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.12.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2.13

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.7.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.14

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.15

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.16

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.16.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.16.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.16.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.16.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Etapa 2.3.17

Simplifique.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Etapa 2.3.19

Combine.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.20

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.21

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.21.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.21.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.22

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.23

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.24

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 2.3.25

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.25.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.25.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Etapa 2.3.25.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.3.25.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.25.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.3.25.4

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.26

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 1 - \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0 - \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.3

Subtraia $\frac{\ln (x)}{2}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\frac{- \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ como um produto.

$- \frac{\ln (x)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.5

Multiplique $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{\ln (x)}{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 2.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\ln (x)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{\ln (x)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 3.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.5

Combine $x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.6

Mova $x^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} - 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.7.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.7.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3 - 2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.7.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Etapa 3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 3.12.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 3.13

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.14

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.15

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}$ .

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Etapa 3.15.1

Multiplique por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.15.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{3 \ln (x)}{2})}{x^{3}}$

Etapa 3.15.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{3 \ln (x)}{2})$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3 \ln (x)}{2})}{x^{3}}$

Etapa 3.16

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.17

Multiplique $x^{3}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.17.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{3 - \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.17.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.17.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.17.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Etapa 3.17.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.17.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Etapa 3.17.5.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.18

Combine frações.

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Etapa 3.18.1

Multiplique $\frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{5}{2}}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 4}$

Etapa 3.18.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.19

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.19.1

Reescreva $\frac{3 \ln (x)}{2}$ como $\frac{3}{2} \ln (x)$ .

$- \frac{1 - (\frac{3}{2} \ln (x))}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.19.2

Simplifique $\frac{3}{2} \ln (x)$ movendo $\frac{3}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f''' (x) = - \frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{5}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Etapa 4.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x^{\frac{3}{2}})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{3}{2}})]) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.5

Combine $x^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.6

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- (x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.7

Multiplique $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{\frac{5 - 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.7.3

Subtraia $3$ de $5$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.7.4

Divida $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.8

Simplifique $x^{1}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.13.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.14

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.15

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.18

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.18.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.18.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.18.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Etapa 4.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})}{x^{5}}$

Etapa 4.20

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{5}}$

Etapa 4.21

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{5}}$

Etapa 4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{5}}$

Etapa 4.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.23.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})}{x^{5}}$

Etapa 4.23.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})}{x^{5}}$

Etapa 4.24

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.25

Para escrever $- (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.26

Combine $- (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.28

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.29

Combine $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{2} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.30

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{3}{2}}}{2} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.31

Fatore $2$ de $- 10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{3}{2}})}{2} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.32

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.32.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.32.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.32.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 5 x^{\frac{3}{2}}}{1} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.32.4

Divida $- 5 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Etapa 4.33

Reescreva $\frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$ como um produto.

$- \frac{1}{4} (\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{5}})$

Etapa 4.34

Multiplique $\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2 x^{5}}$

Etapa 4.35

Multiplique $\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2 x^{5}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2 x^{5} \cdot 4}$

Etapa 4.36

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37

Simplifique.

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Etapa 4.37.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - 5 x^{\frac{3}{2}} (- \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.37.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.37.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (- \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2.1.2

Multiplique $- 5 x^{\frac{3}{2}} (- \ln (x^{\frac{3}{2}}))$ .

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Etapa 4.37.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2.1.2.2

Simplifique $5 \ln (x^{\frac{3}{2}})$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln ({(x^{\frac{3}{2}})}^{5})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{5}$ .

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Etapa 4.37.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2} \cdot 5})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2.1.3.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot 5$ .

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Etapa 4.37.2.1.3.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $5$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{3 \cdot 5}{2}})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2.1.3.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.2.2

Subtraia $5 x^{\frac{3}{2}}$ de $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 8 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.3

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $- 8 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})$ .

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Etapa 4.37.3.1

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $- 8 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot - 8 + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.3.2

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot - 8 + x^{\frac{3}{2}} (\ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.3.3

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} \cdot - 8 + x^{\frac{3}{2}} (\ln (x^{\frac{15}{2}}))$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{5}}$

Etapa 4.37.4

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5} x^{- \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.37.5

Multiplique $x^{5}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.37.5.1

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 (x^{- \frac{3}{2}} x^{5})}$

Etapa 4.37.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{- \frac{3}{2} + 5}}$

Etapa 4.37.5.3

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{- \frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.37.5.4

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.37.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{- 3 + 5 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.37.5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.37.5.6.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{- 3 + 10}{2}}}$

Etapa 4.37.5.6.2

Some $- 3$ e $10$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.37.6

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$- \frac{- 1 (8) + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.37.7

Fatore $- 1$ de $\ln (x^{\frac{15}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (8) - 1 (- \ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.37.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (8) - 1 (- \ln (x^{\frac{15}{2}}))$ .

$- \frac{- 1 (8 - \ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.37.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.37.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.37.11

Multiplique $\frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$