Cálculo Exemplos

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

Etapa 1

Divida a integral em duas integrais, em que $c$ é um valor entre $x$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Etapa 3

Troque os limites de integração.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Etapa 4

Calcule a derivada de $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Etapa 5

Calcule a derivada de $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{7}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reordene os termos.

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

Etapa 7.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ .

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$