Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))}$

Etapa 1.1.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.7

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.2

Divida $4 x^{2} - 3 x - 4$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A ((x - 1) (x + 2))$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.2

Expanda $(x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.6.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.6.2

Divida $(B) (x (x + 2))$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.8

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.9

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.10

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.12

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.8.12.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.12.2

Divida $(C) (x (x - 1))$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

Etapa 1.1.8.13

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.1.8.14

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Etapa 1.1.8.15

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Etapa 1.1.8.16

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

Etapa 1.1.8.17

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

Etapa 1.1.8.18

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.9.1

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.9.2

Mova $B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.9.3

Mova $- 2 A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

Etapa 1.1.9.4

Mova $2 x B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Etapa 1.1.9.5

Mova $A x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = A + B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = - 2 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $- 4 = - 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A = - 4$ .

$- 2 A = - 4$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 2 A = - 4$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 A = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 2$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = A + B + C$ por $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 3 = A + 2 B - 1 C$ por $2$ .

$- 3 = (2) + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $4 = 2 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$B + C = 4 - 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 4 - 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 3 = 2 + 2 B - C$ por $2 - C$ .

$- 3 = 2 + 2 (2 - C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $2 + 2 (2 - C) - C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 = 2 + 2 \cdot 2 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 3 = 2 + 4 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.2.1

Some $2$ e $4$ .

$- 3 = 6 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2.2

Subtraia $C$ de $- 2 C$ .

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $- 3 = 6 - 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $6 - 3 C = - 3$ .

$6 - 3 C = - 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 3 C = - 3 - 6$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.2.2

Subtraia $6$ de $- 3$ .

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3

Divida cada termo em $- 3 C = - 9$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Divida cada termo em $- 3 C = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.5.3.3.1

Divida $- 9$ por $- 3$ .

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 2 - C$ por $3$ .

$B = 2 - (3)$

$C = 3$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $2 - (3)$ .

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Etapa 1.3.6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$B = 2 - 3$

$C = 3$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = - 1, C = 3, A = 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Etapa 8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$2 \ln (| x |) - \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| x + 2 |) + C$