Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 1

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Fatore $3$ de $3 x - 3$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

Etapa 2.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(- x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.5.2

Divida $3 (x - 1)$ por $1$ .

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.8.1

Cancele o fator comum de ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.8.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Etapa 2.1.8.2

Cancele o fator comum de ${(- x + 1)}^{2}$ e $- x + 1$ .

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Etapa 2.1.8.2.1

Fatore $- x + 1$ de $(B) {(- x + 1)}^{2}$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

Etapa 2.1.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.8.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Etapa 2.1.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

Etapa 2.1.8.2.2.4

Divida $B (- x + 1)$ por $1$ .

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

Etapa 2.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

Etapa 2.1.8.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

Etapa 2.1.8.5

Multiplique $B$ por $1$ .

$3 x - 3 = A - B x + B$

Etapa 2.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.9.1

Mova $B$ .

$3 x - 3 = A - x B + B$

Etapa 2.1.9.2

Reordene $A$ e $- x B$ .

$3 x - 3 = - x B + A + B$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = - 1 B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = A + B$

Etapa 2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1

Resolva $B$ em $3 = - 1 B$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 B = 3$ .

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

Etapa 2.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 B = 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 B = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Divida $3$ por $- 1$ .

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 3$ em cada equação.

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Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 3 = A + B$ por $- 3$ .

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Etapa 2.3.3

Resolva $A$ em $- 3 = A - 3$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como $A - 3 = - 3$ .

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

Etapa 2.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

Etapa 2.3.3.2.2

Some $- 3$ e $3$ .

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

Etapa 2.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 0 B = - 3$

Etapa 2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 0, B = - 3$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida $0$ por ${(- x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

Etapa 2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

Etapa 2.5.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

Etapa 2.5.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

Etapa 2.5.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Etapa 2.5.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

Etapa 2.5.6.4

Multiplique $\frac{3}{x - 1}$ por $1$ .

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Etapa 2.5.7

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$3 \ln (| u |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 1 |) + C$