Cálculo Exemplos

$\int \frac{300}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Etapa 1

Como $300$ é constante com relação a $x$ , mova $300$ para fora da integral.

$300 \int \frac{1}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x + 25$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x + 25$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 25]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$300 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$300 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $300$ .

$\frac{300}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $300$ e $3$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $300$ .

$\frac{3 \cdot 100}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 100}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{100}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $100$ por $1$ .

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$100 \int u^{- 2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$100 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $100 (- u^{- 1} + C)$ como $100 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$- 100 \frac{1}{u} + C$

Etapa 7.2.2

Combine $- 100$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 100}{u} + C$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{100}{u} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 25$ .

$- \frac{100}{3 x + 25} + C$