Cálculo Exemplos

$\int \frac{- 27 x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Etapa 1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{27 x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{27 x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Etapa 3

Como $27$ é constante com relação a $x$ , mova $27$ para fora da integral.

$- (27 \int \frac{x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x)$

Etapa 4

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$- 27 \int \frac{x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 9 - 9 x^{3}$ . Depois, $d u = - 27 x^{2} d x$ , então, $- \frac{1}{27} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 9 - 9 x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $9 - 9 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 9 x^{3}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - 9 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$

Etapa 5.1.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 9 (3 x^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 9$ .

$0 - 27 x^{2}$

Etapa 5.1.4

Subtraia $27 x^{2}$ de $0$ .

$- 27 x^{2}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 27 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 27} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 27 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{27}) d u$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{27}$ .

$- 27 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 27} d u$

Etapa 6.3

Mova $27$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$- 27 \int - \frac{1}{27 u^{2}} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 27 (- \int \frac{1}{27 u^{2}} d u)$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $- 27$ .

$27 \int \frac{1}{27 u^{2}} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{27}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{27}$ para fora da integral.

$27 (\frac{1}{27} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $\frac{1}{27}$ e $27$ .

$\frac{27}{27} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 10.1.2

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 10.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27}{27} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 10.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 10.1.3

Multiplique $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 10.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 10.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 10.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 10.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Etapa 12

Reescreva $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 - 9 x^{3}$ .

$- \frac{1}{9 - 9 x^{3}} + C$