Cálculo Exemplos

$\int \frac{1 + 10 t^{7}}{9 t} d t$

Etapa 1

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1 + 10 t^{7}}{t} d t$

Etapa 2

Reordene $1$ e $10 t^{7}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{10 t^{7} + 1}{t} d t$

Etapa 3

Divida $10 t^{7} + 1$ por $t$ .

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Etapa 3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Etapa 3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 t^{7}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Etapa 3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Etapa 3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 t^{7} + 0$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Etapa 3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Etapa 3.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

Etapa 3.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{9} \int 10 t^{6} + \frac{1}{t} d t$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{9} (\int 10 t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Etapa 5

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} (10 \int t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{6}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \int \frac{1}{t} d t)$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $t^{7}$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{t^{7}}{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Etapa 8.2

Simplifique.

$\frac{1}{9} (\frac{10 t^{7}}{7} + \ln (| t |)) + C$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{9} (\frac{10}{7} t^{7} + \ln (| t |)) + C$