Cálculo Exemplos

$\int \frac{11 x}{x - 10} d x$

Etapa 1

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$11 \int \frac{x}{x - 10} d x$

Etapa 2

Divida $x$ por $x - 10$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	-	$10$		$x$	+	$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	-	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$10$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 10$ .

				$1$
$x$	-	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$10$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	-	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$10$
					+	$10$

Etapa 2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$11 \int 1 + \frac{10}{x - 10} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$11 (\int d x + \int \frac{10}{x - 10} d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$11 (x + C + \int \frac{10}{x - 10} d x)$

Etapa 5

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$11 (x + C + 10 \int \frac{1}{x - 10} d x)$

Etapa 6

Deixe $u = x - 10$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x - 10$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x - 10]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 6.1.4

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$11 (x + C + 10 \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$11 (x + C + 10 (\ln (| u |) + C))$

Etapa 8

Simplifique.

$11 (x + 10 \ln (| u |)) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 10$ .

$11 (x + 10 \ln (| x - 10 |)) + C$