Cálculo Exemplos

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $4 x$ de $24 x^{3} + 20 x$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $4 x$ de $24 x^{3}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Etapa 1.1.1.3

Reduza a expressão $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.3.1

Fatore $x$ de $4 x (6 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Etapa 1.1.1.3.2

Fatore $x$ de $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Etapa 1.1.1.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Etapa 1.1.1.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 5$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $4 (6 x^{2} + 5)$ por $1$ .

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.7

Multiplique.

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Etapa 1.1.7.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.7.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A (3 x^{2} + 5)$ por $1$ .

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8.4

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8.5

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 5$ .

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Etapa 1.1.8.5.1

Cancele o fator comum.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.1.8.5.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.1.8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.1.8.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.8.7.1

Mova $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.1.8.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.9.1

Mova $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9.3

Mova $5 A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$24 = 3 A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$20 = 5 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Reescreva a equação como $5 A = 20$ .

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Etapa 1.3.2.2

Divida cada termo em $5 A = 20$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 1.3.2.2.1

Divida cada termo em $5 A = 20$ por $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Etapa 1.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Etapa 1.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Etapa 1.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.3.1

Divida $20$ por $5$ .

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $4$ em cada equação.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $24 = 3 A + B$ por $4$ .

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $24 = 12 + B$ .

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $12 + B = 24$ .

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $12$ de $24$ .

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 12 A = 4 C = 0$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 12, A = 4, C = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Etapa 1.5.2

Some $12 x$ e $0$ .

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Etapa 5

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

Etapa 6

Deixe $u = 3 x^{2} + 5$ . Depois, $d u = 6 x d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 3 x^{2} + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 0$

Etapa 6.1.4.2

Some $6 x$ e $0$ .

$6 x$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Etapa 7.2

Mova $6$ para a esquerda de $u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} + 5$ .

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$