Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{2}$ é positivo.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.6

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2

Combine $3$ e $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{9 \sin (t)}{2}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ por $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.8

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.9

Multiplique $2$ por $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.10

Cancele o fator comum de $6$ e $18$ .

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Etapa 2.2.10.1

Fatore $6$ de $6 \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.10.2.1

Fatore $6$ de $18 \sin (t) \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Etapa 2.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Etapa 2.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.11

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 2.2.11.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.11.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Etapa 5

A integral de $\csc (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$