Cálculo Exemplos

$y = x {(x^{4} + 4)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{4} + 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{3}] + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 4$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$x (12 {(x^{4} + 4)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \cdot 1$

Etapa 8

Multiplique ${(x^{4} + 4)}^{3}$ por $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Fatore ${(x^{4} + 4)}^{2}$ de $x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3}$ .

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Etapa 9.1.1

Fatore ${(x^{4} + 4)}^{2}$ de $x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2})$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 4)}^{3}$

Etapa 9.1.2

Fatore ${(x^{4} + 4)}^{2}$ de ${(x^{4} + 4)}^{3}$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} + 4)$

Etapa 9.1.3

Fatore ${(x^{4} + 4)}^{2}$ de ${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} + 4)$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 4)$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Mova $12$ para a esquerda de $x^{4}$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 4)$

Etapa 9.2.2

Some $12 x^{4}$ e $x^{4}$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.3

Reescreva ${(x^{4} + 4)}^{2}$ como $(x^{4} + 4) (x^{4} + 4)$ .

$(x^{4} + 4) (x^{4} + 4) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.4

Expanda $(x^{4} + 4) (x^{4} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{4} (x^{4} + 4) + 4 (x^{4} + 4)) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 4 + 4 (x^{4} + 4)) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 4 + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 9.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.5.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.5.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 4 + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.5.1.1.2

Some $4$ e $4$ .

$(x^{8} + x^{4} \cdot 4 + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.5.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$(x^{8} + 4 \cdot x^{4} + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.5.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$(x^{8} + 4 x^{4} + 4 x^{4} + 16) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.5.2

Some $4 x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$(x^{8} + 8 x^{4} + 16) (13 x^{4} + 4)$

Etapa 9.6

Expanda $(x^{8} + 8 x^{4} + 16) (13 x^{4} + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.2

Multiplique $x^{8}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.7.2.1

Mova $x^{4}$ .

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.2.3

Some $4$ e $8$ .

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $x^{8}$ .

$13 x^{12} + 4 \cdot x^{8} + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.5

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.7.5.1

Mova $x^{4}$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 x^{4 + 4} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.5.3

Some $4$ e $4$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 x^{8} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.6

Multiplique $8$ por $13$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.7

Multiplique $4$ por $8$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 32 x^{4} + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.8

Multiplique $13$ por $16$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 32 x^{4} + 208 x^{4} + 16 \cdot 4$

Etapa 9.7.9

Multiplique $16$ por $4$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 32 x^{4} + 208 x^{4} + 64$

Etapa 9.8

Some $4 x^{8}$ e $104 x^{8}$ .

$13 x^{12} + 108 x^{8} + 32 x^{4} + 208 x^{4} + 64$

Etapa 9.9

Some $32 x^{4}$ e $208 x^{4}$ .

$13 x^{12} + 108 x^{8} + 240 x^{4} + 64$