Cálculo Exemplos

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

Etapa 1

Deixe $u = e^{t} - 4$ . Depois, $d u = e^{t} d t$ , então, $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = e^{t} - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{t} - 4$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{t} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$e^{t} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $e^{t}$ e $0$ .

$e^{t}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \cot (u) d u$

Etapa 2

A integral de $\cot (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\ln (| \sin (u) |) + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{t} - 4$ .

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$