Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.9

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Etapa 2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Etapa 2.3.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.9

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.4

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 5.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 5.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.6

O MMC de $3, 3, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 5.2.7

O MMC de $x^{\frac{1}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.2.8

O MMC de $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x^{\frac{1 + 1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para o numerador.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 x^{\frac{2}{3}} = 2$

Etapa 5.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique ${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$8 x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.3.1.4

Simplifique.

$8 x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$8 x = 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.4.2

Divida cada termo em $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Divida cada termo em $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.4.4.4

Divida cada termo em $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.1

Divida cada termo em $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 5.4.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.4

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 6.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2.2

Avalie o expoente.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Combine $9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $4 (\frac{2}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Combine $4$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.2.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.2.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Etapa 9.1.5.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Etapa 9.1.5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Etapa 9.1.5.3.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Etapa 9.1.5.4

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Etapa 9.1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Etapa 9.1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Etapa 9.1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Etapa 9.1.6

Combine $9$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Etapa 9.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Etapa 9.1.8

Multiplique $2 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Combine $2$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Etapa 9.1.8.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 + 8}{9}$

Etapa 9.2.2

Some $8$ e $8$ .

$\frac{16}{9}$

Etapa 10

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ na expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.6.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.6.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.6.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.6.2

Avalie o expoente.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 11.2.1.7.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 11.2.1.7.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 11.2.1.7.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Etapa 11.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 11.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Etapa 11.2.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{2} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.6

Multiplique $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.7.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.7.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.7.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.7.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.7.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.7.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.7.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.7.2

Avalie o expoente.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.8.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.8.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.8.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.8.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.9

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.9.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Combine $9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.4

Multiplique $4 (\frac{2}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Combine $4$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 13.1.5.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Etapa 13.1.5.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Etapa 13.1.5.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Etapa 13.1.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Etapa 13.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{4} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Etapa 13.1.5.5

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Etapa 13.1.5.6

Multiplique $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.7.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.7.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.7.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.7.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.7.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.8.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 13.1.5.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Etapa 13.1.5.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.8.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Etapa 13.1.5.8.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Etapa 13.1.5.8.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Etapa 13.1.5.9

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.9.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Etapa 13.1.5.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.9.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Etapa 13.1.5.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Etapa 13.1.5.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Etapa 13.1.6

Combine $9$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Etapa 13.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Etapa 13.1.8

Multiplique $2 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Combine $2$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Etapa 13.1.8.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Etapa 13.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 + 8}{9}$

Etapa 13.2.2

Some $8$ e $8$ .

$\frac{16}{9}$

Etapa 14

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ na expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = 1 (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.7.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.8.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.9

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 15.2.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 15.2.1.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Etapa 15.2.1.11

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.11.1

Mova ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot (- 1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.11.2

Multiplique ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.11.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot ((- 1) (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Etapa 15.2.1.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + 1} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.11.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2 + 3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.11.5

Some $2$ e $3$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.12

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.13

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.14

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.14.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{5} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 15.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.16.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.16.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.16.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.16.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.16.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.16.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.16.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.16.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.16.2

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.17

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.17.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.1.17.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 15.2.1.17.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.17.3.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 15.2.1.17.3.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 15.2.1.17.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Etapa 15.2.1.18

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.18.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 15.2.1.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.18.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.2.1.18.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.2.1.18.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Etapa 15.2.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 15.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0) \cup (0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$

Etapa 18.2

Substitua qualquer número, como $- 3$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ na primeira derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1.1

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.2

Fatore $- 3$ de $4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 3 (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}}{- 1}$ .

$f' (- 3) = - 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ como $- (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ .

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{- \frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - (4 (\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}})) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.7

Combine $4$ e $\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.2

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.3

Para escrever $- \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.4

Para escrever $- \frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $- - 3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.2.2.5.1

Multiplique $\frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5.2

Multiplique $\frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5.4

Multiplique ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.2.2.5.4.1

Mova ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 ({(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 18.2.2.5.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1 + 1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.5.5

Reordene os fatores de ${(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 3) = \frac{- 4 \cdot 3 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.6.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.7

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.8

Fatore $- 1$ de $- 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.9

Fatore $- 1$ de $- 1 (12) - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 (12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = - \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.11

A resposta final é $- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3

Substitua qualquer número, como $- 0.18$ , do intervalo $(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 18.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.18$ na expressão.

$f' (- 0.18) = \frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.3.2

A resposta final é $\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4

Substitua qualquer número, como $0.18$ , do intervalo $(0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ na primeira derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Substitua a variável $x$ por $0.18$ na expressão.

$f' (0.18) = \frac{4 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1.1

Eleve $0.18$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = \frac{4 \cdot 0.56462161}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.56462161$ .

$f' (0.18) = \frac{2.25848646}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4.2.1.3

Divida $2.25848646$ por $3$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4.2.1.4

Eleve $0.18$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 \cdot 0.56462161}$

Etapa 18.4.2.1.5

Multiplique $3$ por $0.56462161$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{1.69386485}$

Etapa 18.4.2.1.6

Divida $2$ por $1.69386485$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1 \cdot 1.18073174$

Etapa 18.4.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $1.18073174$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1.18073174$

Etapa 18.4.2.2

Subtraia $1.18073174$ de $0.75282882$ .

$f' (0.18) = - 0.42790292$

Etapa 18.4.2.3

A resposta final é $- 0.42790292$ .

$- 0.42790292$

Etapa 18.5

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 18.5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = \frac{4 {(3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.5.2.1.1

Mova ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.2

Multiplique $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1.2.1

Multiplique $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3) = \frac{4}{3^{1 - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3 - 1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.2.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.3

Multiplique $3$ por ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.5.2.1.3.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.3.4

Some $3$ e $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.2

Para escrever $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3^{\frac{4}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.5.2.3.1

Multiplique $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.3.2

Multiplique $3^{\frac{2}{3}}$ por $3^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2 + 2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.3.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.5.2.5

A resposta final é $\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 18.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , então $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

Etapa 18.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 18.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , então $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

Etapa 18.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ é um mínimo local

Etapa 19