Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (3 x)}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \ln (3 x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (3 x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int \ln (3 x) x^{- 2} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (3 x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (3 x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\ln (3 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Etapa 3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Etapa 3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Etapa 3.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.1.2

Multiplique $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$

Etapa 7

Reescreva $- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$ como $- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$