Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 3 t - 5$ . Depois, $d u_{1} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 3 t - 5$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 t - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t - 5$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 5$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , então, $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 7

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Etapa 7.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 t - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$