Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 1.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.4.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 \ln (u) d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \ln (u) d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \ln (u)$ e $dv = 1$ .

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $u$ e $\frac{1}{u}$ .

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

Etapa 7

Simplifique.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 9.4

Simplifique.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 9.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$