Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{5}{x}$ . Depois, $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{5}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Etapa 2

Como $- \frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Etapa 3

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Etapa 6

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$