Cálculo Exemplos

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{e^{u_{1}}}{2}$ e $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , então, $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Etapa 7.3

Multiplique $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ por $1$ .

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Etapa 8

Deixe $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Depois, $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ , então, $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $e^{u_{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

Etapa 8.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{2}}$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 9

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u_{3}$ e $dv = \sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 11.2

Multiplique $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ por $1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 12

A integral de $\cos (u_{3})$ com relação a $u_{3}$ é $\sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

Etapa 13

Reescreva $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ como $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ .

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $e^{u_{2}}$ .

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2}$ .

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Reduza a expressão $\frac{2 x}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 15.1.1

Cancele o fator comum.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Etapa 15.1.2

Reescreva a expressão.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Etapa 15.2

Reduza a expressão $\frac{2 x}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Etapa 15.2.2

Reescreva a expressão.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Etapa 15.3

Reduza a expressão $\frac{2 x}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 15.3.1

Cancele o fator comum.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Etapa 15.3.2

Reescreva a expressão.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Etapa 15.4

Divida $x$ por $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Etapa 15.5

Divida $x$ por $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Etapa 15.6

Divida $x$ por $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$