Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\csc (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\csc (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 7

Avalie $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 8.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 8.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Etapa 8.4

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Etapa 8.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Etapa 8.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Etapa 8.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

Etapa 8.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 8.9

Combine $\frac{3}{2}$ e $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Etapa 9.2

$\sqrt{2} - 1$ é aproximadamente $0.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Forma decimal:

$1.32206038 \dots$