Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

Etapa 1

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Etapa 5.5

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Etapa 8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $x$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Etapa 9.2

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{2 π}{3}$ e em $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.2

Para escrever $- \frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.3.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 9.3.7

Subtraia $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Etapa 11.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 11.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Etapa 11.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Etapa 11.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Etapa 11.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Etapa 11.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.7

Simplifique.

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Etapa 11.7.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12}$ .

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Etapa 11.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.7.1.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{π}{24} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.7.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Etapa 11.7.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.7.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.7.3

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 11.7.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.7.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.09740604 \dots$