Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{4} u^{4}$ em $1$ e em $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Etapa 4.2

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 1}{16}$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{3}{16}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{16}$

Forma decimal:

$0.1875$