Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Subtraia $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Etapa 1.3.4

Some $2$ e $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $1$ e em $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$0.44948974 \dots$