Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cot (x) d x$

Etapa 1

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Avalie $\ln (| \sin (x) |)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Etapa 2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Etapa 2.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ é aproximadamente $0.8660254$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ é aproximadamente $0.70710678$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 2.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{2}})$

Etapa 2.3.5

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$