Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{4 - 9 x^{2}} d x d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2^{2} - 9 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{2^{2} - {(3 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = 3 x$ .

$\frac{1}{(2 + 3 x) (2 - (3 x))}$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{(2 + 3 x) (2 - 3 x)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 + 3 x}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{2 + 3 x} + \frac{B}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 + 3 x) (2 - 3 x)$ .

$\frac{1 (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{(2 + 3 x) (2 - 3 x)} = \frac{(A) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 + 3 x} + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $2 + 3 x$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{(2 + 3 x) (2 - 3 x)} = \frac{(A) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 + 3 x} + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 - 3 x)}{2 - 3 x} = \frac{(A) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 + 3 x} + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $2 - 3 x$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 - 3 x)}{2 - 3 x} = \frac{(A) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 + 3 x} + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 + 3 x} + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $2 + 3 x$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 + 3 x} + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (2 - 3 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (2 - 3 x) + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- 3 x) + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- 3 x) + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 \cdot A - 3 A x + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7.5

Cancele o fator comum de $2 - 3 x$ .

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Etapa 1.1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 2 A - 3 A x + \frac{(B) (2 + 3 x) (2 - 3 x)}{2 - 3 x}$

Etapa 1.1.7.5.2

Divida $(B) (2 + 3 x)$ por $1$ .

$1 = 2 A - 3 A x + (B) (2 + 3 x)$

Etapa 1.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 2 A - 3 A x + B \cdot 2 + B (3 x)$

Etapa 1.1.7.7

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$1 = 2 A - 3 A x + 2 \cdot B + B (3 x)$

Etapa 1.1.7.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 A - 3 A x + 2 B + 3 B x$

Etapa 1.1.8

Reordene.

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Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$1 = 2 A - 3 x A + 2 B + 3 B x$

Etapa 1.1.8.2

Mova $B$ .

$1 = 2 A - 3 x A + 2 B + 3 x B$

Etapa 1.1.8.3

Mova $2 B$ .

$1 = 2 A - 3 x A + 3 x B + 2 B$

Etapa 1.1.8.4

Mova $2 A$ .

$1 = - 3 x A + 3 x B + 2 A + 2 B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 3 A + 3 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 3 A + 3 B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 3 A + 3 B$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $0 = - 3 A + 3 B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 3 A + 3 B = 0$ .

$- 3 A + 3 B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $3 B$ dos dois lados da equação.

$- 3 A = - 3 B$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.3

Divida cada termo em $- 3 A = - 3 B$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.3.1

Divida cada termo em $- 3 A = - 3 B$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3 B}{- 3}$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 1.3.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3 B}{- 3}$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3 B}{- 3}$

$1 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{- 3 B}{- 3}$

$1 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{- 3 B}{- 3}$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$A = \frac{- 3 B}{- 3}$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.1.3.3.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$A = B$

$1 = 2 A + 2 B$

$A = B$

$1 = 2 A + 2 B$

$A = B$

$1 = 2 A + 2 B$

$A = B$

$1 = 2 A + 2 B$

$A = B$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 2 A + 2 B$ por $B$ .

$1 = 2 (B) + 2 B$

$A = B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Some $2 B$ e $2 B$ .

$1 = 4 B$

$A = B$

$1 = 4 B$

$A = B$

$1 = 4 B$

$A = B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $1 = 4 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$A = B$

Etapa 1.3.3.2

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = B$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = B$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = B$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 + 3 x} + \frac{B}{2 - 3 x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + 3 x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - 3 x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + 3 x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - 3 x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 + 3 x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + 3 x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - 3 x}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4 (2 + 3 x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - 3 x}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 - 3 x}$ .

$\int \frac{1}{4 (2 + 3 x)} + \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$(\int \frac{1}{4 (2 + 3 x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$(\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + 3 x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 2 + 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 2 + 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$(\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 5.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$(\frac{1}{4} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$(\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$(\frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (2 - 3 x)} d x) d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - 3 x} d x) d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 - 3 x$ . Depois, $d u_{2} = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 - 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $2 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Etapa 10.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 10.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 10.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Etapa 10.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Etapa 10.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u_{2}) d x$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}) d x$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}) d x$

Etapa 11.3

Mova $3$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}) d x$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2})) d x$

Etapa 13

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))) d x$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) d x$

Etapa 14.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) d x$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$(\frac{1}{12} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{12} (\ln (| u_{2} |) + C)) d x$

Etapa 16

Simplifique.

$(\frac{1}{12} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{12} \ln (| u_{2} |)) d x + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 + 3 x$ .

$(\frac{1}{12} \ln (| 2 + 3 x |) - \frac{1}{12} \ln (| u_{2} |)) d x + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 - 3 x$ .

$(\frac{1}{12} \ln (| 2 + 3 x |) - \frac{1}{12} \ln (| 2 - 3 x |)) d x + C$