Cálculo Exemplos

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{2 x}$ e $\cos (4 x)$ .

$\int \cos (4 x) e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (4 x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2} \cdot - 4$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot - 4$ para fora da integral.

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\cos (4 x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{2 x}$ e $\sin (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int \sin (4 x) e^{2 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (4 x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2} \cdot 4$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot 4$ para fora da integral.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\sin (4 x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2}$ por $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{2 \cdot 2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Etapa 7.6

Multiplique.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + 1 (\frac{- 4}{2}) (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{- 4}{2}$ por $1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 4}{2} (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{4}{2}$ por $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Etapa 7.8

Multiplique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{4} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Mova $- 4$ para a esquerda de $\sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 9.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 \sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 (1)}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 \cdot 1}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (4 x) e^{2 x}}{1}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2.4

Divida $- \sin (4 x) e^{2 x}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (- \sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 1 (\sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.4

Multiplique $\sin (4 x)$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{20}{4}} + C$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $20$ e $4$ .

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Etapa 9.1.5.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4}} + C$

Etapa 9.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 (1)}} + C$

Etapa 9.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}} + C$

Etapa 9.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{5}{1}} + C$

Etapa 9.1.5.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Etapa 9.1.6

Multiplique $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Etapa 9.1.7

Combine.

$\frac{2 (\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Etapa 9.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Etapa 9.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Etapa 9.1.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Etapa 9.1.10

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$ como $\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$ .

$\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$