Cálculo Exemplos

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Depois, $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , então, $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{2} x$ em relação a $x$ é $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{π}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

Etapa 2.3

Combine $\cos^{2} (u_{1})$ e $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{2}{π}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{2}{π}$ para fora da integral.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 10

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 12

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{π}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{π}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Etapa 15.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Etapa 15.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

Etapa 15.1.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Etapa 15.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Etapa 15.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

Etapa 15.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$