Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) \tan (x) (1 + \sec (x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$0 + \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + \sec (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sec (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + \sec (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sec (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{3} u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{3}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $3$ e em $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Etapa 3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Etapa 3.2.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.5

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{2} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.2.6.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\frac{9}{2} - 2$

Etapa 3.2.7

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.8

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.10.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{9 - 4}{2}$

Etapa 3.2.10.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{2}$

Forma decimal:

$2.5$

Forma de número misto:

$2 \frac{1}{2}$