Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \cos (4 t)$ . Depois, $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ , então, $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \cos (4 t)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Etapa 1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Combine $3^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

A integral de $3^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

Etapa 6

Combine $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ em $0$ e em $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Etapa 7.2.2

Avalie o expoente.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

Etapa 7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

Etapa 7.2.4

Subtraia $3$ de $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

Etapa 7.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

Etapa 7.2.6

Reescreva $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ como um produto.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 7.2.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

Etapa 7.2.8

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 7.2.8.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

Etapa 7.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.8.2.1

Fatore $2$ de $4 \ln (3)$ .

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

Etapa 7.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

Etapa 7.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

Etapa 7.2.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

Etapa 7.2.10

Multiplique $\frac{1}{2 \ln (3)}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Forma decimal:

$0.45511961 \dots$