Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $u]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $u + \frac{u^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.4

Some $3$ e $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Etapa 9.2.6

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.1

Fatore $3$ de $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 9.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Etapa 9.2.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Etapa 9.2.7

Some $0$ e $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Etapa 9.2.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Etapa 9.2.9

Some $\frac{4}{3}$ e $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Etapa 9.2.10

Combine $5$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Etapa 9.2.11

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{20}{3}$

Forma decimal:

$6.\overline{6}$

Forma de número misto:

$6 \frac{2}{3}$