Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sqrt{x - 4} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{3}$ e $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x^{3} (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{3} \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3} \cdot 3$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3} \cdot 3$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 3}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{6}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = x - 4$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = x - 4$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 5.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(u_{1} + 4)}^{2} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = u_{1} + 4$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 4$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Etapa 6.1.4

Como $4$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $4$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7

Deixe $u_{3} = u_{2} - 4$ . Depois, $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u_{3} = u_{2} - 4$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{2} - 4$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Etapa 7.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- 4$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(u_{3} + 4)}^{2} d u_{3}$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva ${(u_{3} + 4)}^{2}$ como $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((u_{3} + 4) (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Etapa 8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.8

Reordene $u_{3}$ e $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.9

Reordene ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ e $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.10

Reordene ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ e $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Etapa 8.11

Mova ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

Etapa 8.12

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.14

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.16

Some $3$ e $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.17

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.19

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.21

Some $5$ e $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.22

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.23

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.24

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.26

Some $3$ e $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.27

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.28

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.29

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.31

Some $3$ e $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.32

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.33

Some $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ e $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.34

Reordene $8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ e $16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}$

Etapa 8.35

Mova ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (\int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 10

Como $16$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $16$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 12

Combine $\frac{2}{5}$ e ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 13

Como $8$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $8$ para fora da integral.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 15

Combine $\frac{2}{7}$ e ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Etapa 16

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C)$

Etapa 17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Combine $\frac{2}{9}$ e ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C)$

Etapa 17.2

Simplifique.

$\frac{2}{3} x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3

Simplifique.

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Etapa 17.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.2

Combine $\frac{2 x^{3}}{3}$ e ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.3

Combine $16$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{16 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.4

Multiplique $16$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.5

Combine $8$ e $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{8 \cdot 2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.6

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.7

Combine $\frac{32}{5}$ e ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.8

Combine $\frac{16}{7}$ e ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Etapa 17.3.9

Combine $\frac{2}{9}$ e ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) + C$

Etapa 17.3.10

Para escrever $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Etapa 17.3.11

Combine $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Etapa 17.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Etapa 17.3.13

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $u_{2} - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{2} - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{2} - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} + 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} (2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}})) + C$