Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \ln (7 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (7 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{7 x}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $7 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $7$ e $\frac{x}{7}$ .

$\frac{7 x}{7} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + \ln (7 x) (2 x)$

Etapa 3.8

Reordene os termos.

$2 x \ln (7 x) + x$