Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Etapa 1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ em $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e em $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.2

Combine.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.3

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.3.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 7.1.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.4

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 7.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.5.5

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

Etapa 7.5

Subtraia $4$ de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

Etapa 7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

Etapa 7.7

Multiplique $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

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Etapa 7.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

Etapa 7.7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 7.7.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Etapa 7.7.4

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{1}{16}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{16}$

Forma decimal:

$0.0625$