Cálculo Exemplos

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $y^{2} + 2 y - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{y - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(y - 1) (y + 3)$ .

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (y + 3)$ por $1$ .

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B) (y - 1)$ por $1$ .

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.7.7

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

Etapa 1.1.8

Mova $3 A$ .

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = 3 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $3 (1 - B) - 1 B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 3 B$ .

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $- 2 = 3 - 4 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $3 - 4 B = - 2$ .

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 4 B = - 5$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 4 B = - 5$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{5}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{5}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{5}{4})$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Subtraia $5$ de $4$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 1.3.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{y - 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Etapa 1.5.3

Mova $4$ para a esquerda de $y - 1$ .

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{1}{y + 3}$ .

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Etapa 7

Como $\frac{5}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{5}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = y + 3$ . Depois, $d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = y + 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 8.1.4

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y + 3$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$