Cálculo Exemplos

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

Etapa 1

Deixe $u = 3 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 - y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Etapa 2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3

Expanda $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.4

Mova os parênteses.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.6

Multiplique $u$ por $1$ .

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.7

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.11

Subtraia $2$ de $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.12

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3.13

Subtraia $3 u^{- \frac{2}{3}}$ de $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 6

Como $- 6$ é constante com relação a $u$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 8.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - y$ .

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$