Cálculo Exemplos

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 t}$ como ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Fatore $5$ de $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.3

Aplique a regra do produto a $5 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $5^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 10

Combine $5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Combine $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Reordene os fatores em $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$