Cálculo Exemplos

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (t)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Etapa 2

Combine $t$ e $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Etapa 3

Deixe $u = t^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = t^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 t + 0$

Etapa 3.1.5

Some $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

Etapa 3.3

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Etapa 3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Etapa 3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

$u_{lower} = x + 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

Etapa 3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

Etapa 3.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\arctan (t) t$ em $2 x$ e em $\sqrt{x}$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Etapa 7.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $4 x^{2} + 1$ e em $x + 1$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

Etapa 7.3

Remova os parênteses.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

Etapa 8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Etapa 9.1.2

Combine $\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Etapa 9.2

Para escrever $2 \arctan (2 x) x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Etapa 9.3

Combine $2 \arctan (2 x) x$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Etapa 9.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$